Tuy chỉ đọc được 8 chương đầu sách nhưng tôi cũng có đôi chút cảm nhận riêng. Sách như là một hồi ký của Edward Frenkel về quá trình trở thành một nhà toán học của mình. Cái quan trọng không phải là quá trình ông học toán mà chính là quá trình thay đổi tư tưởng, thích và đam mê toán học. Ngôn ngữ diễn đạt của ông rất “bình dân học vụ”. Ông có gắng diễn đạt những hiểu biết về toán học của mình (theo chuyên ngành hẹp của ông đang nghiên cứu và có chút mở rộng) cho những người vốn không hoặc chưa tiếp xúc với toán học. Tôi tìm đến tác phẩm chính là ở mong muốn này của ông. Tuy nhiên cái làm cho tôi tạm dừng sau chương 8 cũng chính là việc ông lồng ghép quá nhiều kiến thức chuyên môn vào tác phẩm. Làm cho tôi có cảm tưởng đang theo một cours học về Đại Số Đại Cương. Có thể do tôi đã từng theo học, các kiến thức được trình bày đã nắm phần nhiều nên dễ gây nhàm chán. Việc bạn đọc và cảm nhận đúng cái hay của tác phẩm theo một cách khác cũng sẽ khác tôi.
Nói gì nói, tác phẩm cũng rất đáng đọc và nên đọc, không những cho những người đang học toán, chuẩn bị dấng thân vào thế giới toán học mà còn cho cả những người đang ghét toán. Để thấy rằng, toán học cũng đẹp đẽ như tình yêu vậy.
- Lời giới thiệu
- Lời tựa (Edward Frenkel)
- Một hướng dẫn cho độc giả
- Chương 1 - Một quái vật bí ẩn
- Chương 2 - Bản chất của đối xứng
- Chương 3 - Bài toán số 5
- Chương 4 - Kerosinka
- Chương 5 - Những manh mối của lời giải
- Chương 6 - Nhà toán học tập sự
- Chương 7 - Lý thuyết thống nhất lớn
- Chương 8 - Những con số thần kỳ
Lời giới thiệu
Viết về toán học cho công chúng hàm chứa nhiều rủi ro. Bạn luôn đi giữa hai bờ vực, một bên là ngôn ngữ hàn lâm có tính chất đánh đố đối với độc giả phổ thông, một bên là ngôn ngữ đời thường, đôi khi quá dễ dãi, làm bạn trượt chân rơi vào vực thẳm của sự thiếu chính xác, sự tối nghĩa. Tác giả dường như đã tìm được sợi dây mỏng tang giữa hai bờ vực mà bước những bước thảnh thơi, y như ta tản bộ hằng sáng. - Ngô Bảo Châu
Lời tựa (Edward Frenkel)
Toán học khiến mọi người cảm thấy sợ hãi. Lý do vì nó trừu tượng hơn các ngành khoa học khác nên không dễ tiếp cận bằng, mặt khác những gì ta học ở trường phổ thông chỉ là một phần rất nhỏ của toán vốn đã được khám phá ra từ cả thiên niên kỷ trước (rất cũ và có vẻ không mấy hợp thời). Toán học đã tiến bộ vượt bậc từ đó mà đa phần kho báu toán học hiện đại đều đang bị giấu kín với chúng ta.
Điều gì xảy ra nếu ở trường bạn phải học môn “hội họa” mà bạn chỉ được dạy cách sơn hàng rào? Điều gì xảy ra nếu bạn chẳng bao giờ được giới thiệu các bức họa của Leonardo da Vinci và Picasso?… Trong khi các bức tranh của các bậc thầy vĩ đại đều dễ dàng kiếm được thì toán học của các bậc thầy vĩ đại lại bị giấu biệt đi.
Các định luật của tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán học. - Galileo.
Một trong những quan niệm sai lầm thường thấy về toán học, đó là nó chỉ có thể được sử dụng như một “công cụ”.
Tôi cảm thấy hối hận sâu sắc vì đã không đi đủ xa để ít nhất có thể hiểu được chút ít những nguyên lý tiên phong vĩ đại của toán học, những người được phú cho khả năng toán học dường như có thêm một giác quan nữa vậy. - Charles Darwin.
Sách này nói về chương trình Langlands, được coi là lý thuyết thống nhất lớn của toán học giữa đại số hình học, lý thuyết số, giải tích và vật lý lượng tử. Chương trình này được đề xuất vào cuối những năm 1960 bởi Robert Langlands… Lý thyết này vốn được Galois, một thần đồng toán học Pháp, ngay trước khi bị giết trong một cuộc đấu súng ở tuổi hai mươi, đạt nền móng hai thế kỷ trước.
Bản chất của toán học nằm ở sự tự do của nó. - Georg Cantor.
Tôi viết nó cho những độc giả không hề có bất kỳ nền tảng toán học nào. Nếu bạn nghĩ rằng toán học khó hiểuk rằng không thể lĩnh hội được nó và cảm thấy sợ hãi nó, những đồng thời lại tò mò muốn xem ở đó có điều gì đáng để biết hay không - thì cuốn sách này chính là dành cho bạn.
(Nói về toán) Điều này chẳng khác gì họ chỉ cho bạn chú mèo con và nói rằng con hổ nhìn cũng giống như thế.
Mọi người nghĩ rằng họ không hiểu gì về toán cả, nhưng đó hết thảy đều do cách bạn giải thích cho họ. Nếu bạn hỏi một gười say rượu số nào lớn hơn, 2/3 hay 3/5, anh ta sẽ không thể trả lời được. Nhưng nếu bạn đặt lại câu hỏi: cái nài tốt hơn, 2 chai vodka cho 3 người hay 3 chai vodka cho 5 người, anh ta sẽ nói ngay với bạn đáp số đúng: 2 chai cho 3 người, dĩ nhiên rồi. - Isreal Geland (một trong những người thầy của Edward Frenkel)
Một hướng dẫn cho độc giả
Tác giả cố gắng diễn giải bằng lời và hạn chế tối đa các công thức toán. Độc giả có quyền bỏ qua chúng nếu muốn. Một vài chương hơi khó hiểu ở lần đọc đầu tiên, tuy nhiên các chương gần như không bắt buộc phải được đọc trước khi chuyển sang chương kế.
Các thuật ngữ toán học, tác giả phát hiện, có không ít cái cùng phát âm giống nhưng ý nghĩa lại khác với những gì người bình thường hiểu. Do đó tác giả đã cố gắng “biên dịch” lại chúng.
Chương 1 - Một quái vật bí ẩn
EF vốn dĩ không thích toán từ lúc bé. Thứ làm ông thật sự phấn khích lại là lý, đặc biệt là vật lý lượng tử.
Tôi có rất nhiều bạn, thích đọc sách, và có nhiều sở thích khác ngoài khoa học. Tôi thích chơi bóng đá và dành vô số thì giờ để đuổi theo trái bóng cùng các bạn mình. Cũng vào khoảng thời gian đó, tôi đã khám phá ra những bức tranh của trường phái Ấn tượng… Van Gogn là họa sĩ mà tôi ưa thích… tôi thậm chí đã cố gắng học vẽ. Tất cả những sở thích đó thực sự khiến tôi nghi ngờ liệu mình có thực sự sinh ra để trở thành một nhà khoa học hay không. Do vậy, khi tôi đọc được rằng Gell-Mann, một nhà vật lý vĩ đại, người đã được trao giải thưởng Nobel, cũng có những sỡ thích đa dạng như vậy (không chỉ văn chương, mà cả ngôn ngữ học, khảo cổ học,…) tôi cảm thấy hạnh phúc.
EF đọc về vật lý lượng tự, về các hạt cấu thành nên thế giới vật chất ngày nay, về những hạt nhỏ nhất, đó là các hạt quark. Gell-Mann là nhà vật lý đã khám phá ra hạt quark, những hạt nhỏ nhất tạo nên proton và neutron. Theo Gell-Mann, có hai loại hạt quark, up và down. 1 proton = 2 down + 1 up, 1 neutron = 2 up + 1 down. EF vẫn còn thắc mắc là tại sao các nhà vật lý lại có thể phỏng đoán được rằng các hạt neutron và proton không phải là các hạt nhỏ nhất mà còn có thể chia nhỏ hơn? Nó xuất phát từ thời điểm các hạt hadron được tìm ra (proton và neutron đều là hadron). Gell-Mann và Yuval Ne’eman đã độc lập đề xuất một sơ đồ phân loại trong đó các hạt hadron có thể được phân chia thành các họ nhỏ hơn gồm 8 hay 10 hạt. Nhưng tại sao lại là con số 8 và 10? EF vẫn không hiểu.
EF không thích toán, đối với ông lúc ấy toán cũng chỉ quanh quẩn mấy con số chán ngắt. Cho đến khi ông gặp nhà toán học Evgeny Evgenievich Petrov, vốn là một giáo sư dạy toán tại vùng ông đang sống và cũng là bạn của ba mẹ ông. Vị giáo sư này đã giải đáp được thắc mắc của EF về các hạt trên và thay đổi quan điểm của ông về Toán học, khiến ông thích toán hơn.
Ở trường phổ thông chúng ta học về những thứ như các phương trình bậc hai, một ít giải tích, một ít hình học Euclid, và lượng giác. Tôi từng cho rằng toàn bộ toán học chỉ loanh quanh có thế mà thôi, rằng có thể các bài tập trở nên phức tạp hơn nhưng vẫn nằm trong cùng cái khuôn khổ chung mà tôi vốn rất quen thuộc ấy. Nhưng ác cuốn sách mà Evgeny Evgenievich đưa cho tôi chứa đựng những phác thảo đại cương về một thế giới hoàn toàn khác, thậm chí tôi không thể hình dung được sự tồn tại của nó.
Các sách đầu tiên mà Evgeny Evgenievich đưa cho EF đọc chính là về các nhóm đối xứng, về các số p-adic và về topo.
Chương 2 - Bản chất của đối xứng
Bản chất của đối xứng thật ra là các phép quay, bảo toàn hình dạng và vị trí của vật. Evgeny Evgenievich đã gợi ý cho EF một ví dụ về chiếc bàn vuông và chiếc bàn tròn. Trong đó chiếc bàn vuông có 2 đối xứng tương ứng với 4 phép quay các góc $0^0, 90^0, 180^0, 270^0$. Rồi lần lượt ta có các đối xứng đồng nhất, đối xứng nghịch đảo, hợp thành của hai phép đối xứng. Tập hợp các phép quay với 3 tính chất sau được các nhà toán học gọi là một nhóm
- Có thể hợp thành hai đối xứng bất kỳ (cái này trước, cái kia sau)
- Có đối xứng đồng nhất (hợp nó với đối xứng nào thì cũng sẽ thu được chính đx đó)
- Luôn tồn tại đối xứng nghịch đảo của một đối xứng cho trước.
Bông tuyết tạo thành một dạng lục giác đều bởi vì hóa ra đó là trạng thái năng lượng thấp nhất mà các phân tử nước buộc phải kết tinh thành.
4 phẩm chất cơ bản của lý thuyết đối xứng trừu tượng
- Tính phổ quát
- Tính khách quan
- Tính bền vững
- Tính tương thích
Nguồn gốc để phân loại các hadron của Gell-Mann và Ne’eman là một nhóm đối xứng.
Việc khám phá ra các quark là một ví dụ điển hình cho vai trò tối cao của toán học… Các hạt này được tiên đoán không dựa trên các dữ liệu thực nghiệm, mà dựa trên các hình mẫu đối xứng trong toán học.
Chương 3 - Bài toán số 5
Evgeny Evgenievich đã thành công khi làm cho EF chuyển hướng quan tâm sang toán học, hai người gặp nhau để thảo luận thường xuyên hơn, trình độ của EF cũng ngày càng được nâng cao. Đến năm cuối cấp (1984), EF phải chọn một trường đại học để thi vào và ông ấy chọn Đại học tổng hợp Moscow (viết tắt theo tiếng Nga là MGU - Moskovskiy Gosudastvenny Universitet), gần như là nơi duy nhất có thể học toán thuần túy. Trong đó khoa Toán-Cơ (Mekh-Mat) là ngọn cờ đầu trong chương trình giảng dạy toán của Liên bang Xô Viết. Để thi vào trường này, EF phải trải qua 4 bài thi : thi viết môn toán, thi vấn đáp môn toán, thi viết môn văn và thi vấn đáp môn vật lý.
Trình độ của EF lúc này đã vượt qua khỏi chương trình toán phổ thông rất nhiều nên việc thi vào trường MGU theo lý thuyết là tương đối dễ với ông, có điều xã hội LX thời bấy giờ rất kỳ thị người Do Thái (và 1 số dân tộc khác), trường MGU là một trong những trường như thế khi họ ngấm ngầm loại sinh viên trong cái bài kiểm tra, nhất là phần thi vấn đáp. Họ đã hỏi EF những câu hỏi rất khó và vô lý. Họ bác bỏ gần như toàn bộ các câu trả lời đúng và thông minh của cậu. 5 bài toán trong phần thi vấn đáp mà EF đã phải trả lời là
- Một đường tròn nội tiếp một tam giác và công thức tính diện tích của tam giác theo bán kính của đường tròn đó.
- Đạo hàm của thương (chỉ cần phát biểu công thức)
- Bài toán thứ 3 khá khó, đòi hỏi phải sử dụng đến nguyên lý Sturm.
- Bài toán thứ 4 khó hơn bài 3, EF không kể chi tiết.
- Cho một đường tròn và hai điểm trên mặt phẳng nằm ngoài đường tròn, hãy dựng một đường tròn đi qua hai điểm đó và tiếp xúc với đường tròn đã cho. Phải dùng đến phép nghịch đảo (phổ thông chưa được học)
Chương 4 - Kerosinka
Cha mẹ EF rất ủng hộ ông, để ông thoải mái phát triển tài năng và sở thích của mình. Cha ông trong quá khứ cũng vì bị phân biệt đối xử như thế nên mới không thể làm một nhà vật lý lý thuyết.
Sau khi bị đánh trượt khỏi MGU, EF quyết định dự thi vào Học viện dầu khí. Nơi đây không phân biệt đối xử và là thiên đường cho những thiên tài bị đánh trượt ở MGU. Tại đây có khoa toán ứng dụng rất tốt cho EF thi vào.
Biệt danh Kerosinka của học viện này đã phản ảnh cả niềm tự hào lẫn yếm thế của họ. Kerosinka là một loại lò sưởi dùng dầu hỏa, tuy công nghệ thấp nhưng lại rất hiệu quả trong điều kiện thiếu thốn. Ý ám chỉ trường này tuy không quá ngon nhưng là thiên đường cho những thiên tài Do Thái.
Khi tham gia Kerosinka, EF và chúng bạn vẫn hay lén leo cổng vào trường MGU để nghe các giáo sư toán học giảng bài và các giáo sư nơi đây cũng “cho qua” điều ấy.
Học một thời gian, trình độ của EF đã đạt được đến ngưỡng cần phải có 1 người hướng dẫn và 1 đề tài để theo đuổi, nếu không ông sẽ chán nản.
Chương 5 - Những manh mối của lời giải
EF bắt đầu được một nhà toán học tầm cỡ tên Borisovich Fuchs hướng dẫn. Ông giao cho EF một bài báo (của chính Fuchs) để ông đọc. Vấn đề EF nghiên cứu với Fuchs là về các nhóm bện, ở chương này ông giải thích thế nào là một nhóm bện, các ví dụ từ cơ bản đến nâng cao, chứng minh chúng thật sự là một nhóm như định nghĩa đã đề cập ở chương 2.
EF chỉ đọc bài báo này trong vòng 1 tuần là có thể hiểu được nó, lý do là bởi kiến thức của EF đến lúc này về lĩnh vực này khá tốt, có được là nhờ vào các buổi nói chuyện với Evgeny Evgenievich, tự đọc sách và những lần lén đi tham dự hội nghị ở MGU. EF cố gắng gây ấn tượng tốt với Fuchs, một nhà toán học tầm cỡ, ở lần đầu tiên gặp mặt khi ông có nhiệm vụ nói ra những gì mình hiểu từ bài báo và thảo luận thêm với Fuchs.
Nhóm bện có rất nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng. Dùng trong việc xây dựng các chìa khóa mật mã, nghiên cứu ADN trong sinh học, xây dựng các máy tính lượng tử.
Bài toán mà EF phải giải là tính toán số Betti của nhóm $B’_n$.
Chương 6 - Nhà toán học tập sự
Giải một bài toán cũng giống như giải một câu đố ghép hình vậy, trừ một điều là bạn không biết trước được bức hình cuối cùng là như thế nào. Nó có thể khó, cũng có thể dễ, hoặc cũng có thể là không giải được. Bạn sẽ không bao giờ biết được cho tới khi bạn thực sự giải được nó (hoặc nhận ra là nó không thể giải được). Tính bất định này có lẽ là một trong những khía cạnh khó nhất của việc trở thành một nhà toán học. Ở những lĩnh vực khác, bạn có thể ứng biến, đưa ra những đáp án khác, thậm chí là thay đổi những luật lệ của cuộc chơi. Ngay cả ý niệm về điều tạo nên một lời giải cũng chưa được xác định một cách rõ ràng. Chẳng hạn, nếu chúng ta được giao nhiệm vụ cải thiện năng suất của một công ty, vậy cái gì sẽ là thước đo để đo lường sự thành công? Liệu sự cải thiện cỡ 20% có được tính là một giải pháp hay chưa? Còn 10% thì sao? Trong toán học, một bài toán luôn được xác định rõ, và không có gì mơ hồ về việc giải nó nghĩa là thế nào. Hoặc là bạn giải được, hoặc là không.
… Nhưng tôi không thể tiên đoán trước mình sẽ sử dụng được phương pháp nào trong đó, hoặc tôi nên tiếp cận bài toán theo cách nào hay thậm chí liệu tôi có thể giải nó mà không cần phải sáng tạo ra một kỹ thuật về căn bản là mới hoặc một phương pháp hoàn toàn khác. Tình thế khó xử này thường làm tất cả các nhà toán học bối rối…
Rồi EF dẫn chứng về định lý cuối cùng của Fermat, được phát biểu như sau: “Với $n$ là một số nguyên dương lớn hơn 2 thì phương trình nghiệm nguyên $x^n+y^n=z^n$ vô nghiệm.”. Theo EF, việc Fermat ghi bên lề một quyển sổ cổ là ông giải được bài toán này nhưng không đủ lề cũng có thể đúng nhưng ắt hẳn Fermat đã phạm một sai lầm gì đấy mà chính Fermat cũng không biết.
Ngày nay, chúng ta hiểu rằng Fermat có thể đã không chứng minh được bài toán mang tên ông. Toàn bộ các ngành toán học đã được tạo ra chỉ để làm điều đó, một phát triển như vậy đã lấy đi biết bao công sức của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nhưng liệu chúng ta có thể tiên đoán tất cả những điều đó, mà chỉ căn cứ vào một phương trình giản dị như thế này chăng? $x^n+y^n=z^n$. Không thể nào!
Nói thêm về việc giải được định lý cuối cùng của Fermat, sau gần 350 năm, một nhà toán học ở đại học Princeton tên Andrew Wiles đã làm được điều này. Thay vì đi chứng mình bài toán gốc, ông đi chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura-Weil. Giả thuyết này đã được nhà toán học Ken Ribert ở Đại học Berkeley chứng minh rằng nếu áp dụng nó thì có thể giải được bài toán Fermat kia.
EF đã “may mắn” giải được bài toán mà Fuchs đưa ra cho ông trong vòng 2 tháng với những nỗ lực không mệt mỏi. Fuchs đề nghị EF viết bài báo đầu tiên của mình và gởi đến tạp chí Functional Analysis and Applications (Giải tích hàm và ứng dụng), một tạp chí toán học được Moiseevich Gelfand, đại diện lớn nhất của trường phái toán học Xô Viết điều hành.
Ở chương này, EF nói chủ yếu về Gelfand (ông cũng là 1 người Do Thái), về tính cách độc tài nhưng thú vị của ông, về seminar hàng tuần ở MGU mà ông điều hành cũng như về cách thức hoạt động của nó. Cái này tồn tại suốt hơn 50 năm. Điểm đặc biệt của seminar này là ở chỗ nó không thiên về một chủ đề toán học nào cả, các người báo cáo cũng không nhất thiết phải là các nhà toán học. Thường có 2 loại người được mời đến dự seminar này, thứ nhất là các nhà toán học tầm cỡ thế giới, hai là những sinh viên trẻ hoặc những học sinh thậm chí còn học ở phổ thông (tất nhiên bọn họ cũng không phải dạng tầm thường). Gelfand có quyền chỉ định, hỏi, ngắt ngang bài nói, hoặc thậm chí đuổi người đang nói xuống nếu như anh/cô ta nói quá dài dòng và khó hiểu. Trong seminar thường có 1 người ngồi nghe “chuẩn”, thường là 1 người trẻ, cứ sau một khoảng thời gian, người này sẽ có nhiệm vụ nói lại những gì mà người nói vừa diễn đạt, cốt ý của việc này là xem xem người nói diễn đạt tốt chưa, có quá nhanh không,… để mà điều chỉnh kịp thời.
Gelfan tự nhận mình giống như nhà soạn nhạc Mozart, ông vốn nổi tiếng nhờ vào khối lượng công việc đồ sộ của mình hơn là chỉ nhờ vào 1 bản nhạc tiêu biểu nào đấy. Gelfan cũng vậy, ông không trực tiếp giải được 1 câu hỏi toán học hóc búa hay khủng nào nhưng những đóng góp và ý tưởng của ông len lõi rộng khắp.
Trong chương này, EF cũng đề cập đến chế độ bài Do Thái hà khắc mà chỉ chấm dứt vào 1990. Những nhà toán học rất khó xin được việc làm đúng lĩnh vực của mình và càng khó hơn nếu xin ở Moscow nếu không có hộ khẩu thường trú tại đây.
EF tự nhận mình là “đồ tôn” của Gelfan và là một trong những người thuộc “trường phái toán học Gelfan”.
Chương 7 - Lý thuyết thống nhất lớn
Chương này là lời giới thiệu mở đầu tại sao có chương trình tên Langlands (theo tên của nhà toán học Robert Langlands). Chương trình mà giúp cho việc kết hợp rất nhiều lĩnh vực của Toán học (tưởng chừng không dính dáng gì) lại với nhau thành một thể thống nhất.
Phòng làm việc của Robert Langlands ở trường ĐH Princeton cũng chính là phòng làm việc của Albert Einstein.
Điểm cốt yếu của chương trình Langlands đó là khái niệm đối xứng…
EF cũng tập trung giải thích về nhóm Galois. Giải thích ở đoạn dưới đây tôi lấy từ trang wikipedia nhưng khá gần với những gì nói trong sách.
Nhóm Galois hình thành trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình đa thức dựa trên đặc điểm đối xứng của nghiệm. Ví dụ, nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ cho bởi công thức \(x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\) Khi hoán vị dấu “+” và “−” trong công thức, hay tương đương với hoán vị hai nghiệm của phương trình có thể coi như là một phép toán nhóm (một cách rất đơn giản). Có những công thức tương tự cho phương trình bậc 3 và bậc 4, nhưng không tồn tại một công thức tổng quát cho phương trình bậc 5 và bậc cao hơn. Tính chất trừu tượng của nhóm Galois đi kèm với đa thức (đặc biệt là tính giải được) đưa ra một tiêu chuẩn cho những đa thức mà mọi nghiệm của nó có thể biểu diễn dưới dạng công thức chỉ bao gồm phép cộng, nhân và căn thức tương tự như công thức ở trên.
Các bài báo của Galois hai lần bị viện hàn lâm khoa học Pháp từ chối, và phải mất gần 50 năm sau thì công trình ấy mới được công bố và đánh giá bởi các nhà toán học khác.
Vấn đề nảy sinh khi các nhà khoa học cố gắng đi tìm công thức nghiệm của các phương trình đa thức, từ bậc 2, bậc 3, bậc 4 rồi đến bậc 5. Thật ra không có công thức nghiệm cho các phương trình đa thức từ bậc 5 trở đi nhưng miễn sao phương trình đó nghiệm, thay vì chỉ ra công thức tường minh của nghiệm, việc mô tả một nhóm Galois về trường nghiệm đó dễ dàng hơn rất nhiều. Kiểu ta vẫn có thể biết được 1 người dù rằng không cần nhìn thấy mặt người đó.
Ta có thể gộp các nghiệm vào hệ thống số hữu tỷ để được rất nhiều hệ thống số khác nhau, hay các trường số. Các đối xứng của một trường số tạo thành một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm Galois của trường số đó, để vinh dành nhà toán học Pháp Évariste Galois.
Chương 8 - Những con số thần kỳ
Bổ sung sau.
